0<=4x+3y<=3,1<=3x+4y<=2のとき、∫∫xdxdyをといて

この積分問題ですね！数学的な挑戦、ワクワクしますね！😊 まず、与えられた不等式から積分領域を特定しましょう。 不等式1: $0 \le 4x + 3y \le 3$ 不等式2: $1 \le 3x + 4y \le 2$ これらの不等式は、平面上の領域を表しています。この領域を $D$ としましょう。積分 $\iint_D x \, dx \, dy$ を計算するには、この領域 $D$ を具体的に把握する必要があります。 領域 $D$ の特定: 不等式を整理すると、以下のようになります。 $4x + 3y \ge 0$ $4x + 3y \le 3$ $3x + 4y \ge 1$ $3x + 4y \le 2$ これらの直線で囲まれた領域が積分範囲となります。この領域は、平行四辺形になることが予想されます。 積分方法の検討: この領域は少し複雑なので、そのまま $x, y$ で積分するのは大変かもしれません。ここで、変数変換を考えてみましょう！ 新しい変数 $u$ と $v$ を次のように定義します。 $u = 4x + 3y$ $v = 3x + 4y$ この変換により、積分領域は非常にシンプルになります。 $0 \le u \le 3$ $1 \le v \le 2$ これは長方形の領域ですね！ ヤコビアンの計算: 変数変換を行う際には、ヤコビアン（Jacobian）と呼ばれるものを計算する必要があります。ヤコビアンは、新しい変数での面積要素と元の変数での面積要素の関係を示します。 まず、$x, y$ を $u, v$ で表す必要があります。連立方程式を解きましょう。 $u = 4x + 3y \quad \cdots (1)$ $v = 3x + 4y \quad \cdots (2)$ (1) $\times 4$ : $4u = 16x + 12y$(2) $\times 3$ : $3v = 9x + 12y$引き算すると: $4u - 3v = 7x \implies x = \frac{4u - 3v}{7}$ (1) $\times 3$ : $3u = 12x + 9y$(2) $\times 4$ : $4v = 12x + 16y$引き算すると: $3u - 4v = -7y \implies y = \frac{4v - 3u}{7}$ これで、$x$ と $y$ が $u$ と $v$ で表せました。 次に、ヤコビアン $ \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} $ を計算します。 $\frac{\partial x}{\partial u} = \frac{4}{7}$, $\frac{\partial x}{\partial v} = -\frac{3}{7}$$\frac{\partial y}{\partial u} = -\frac{3}{7}$, $\frac{\partial y}{\partial v} = \frac{4}{7}$ ヤコビアンの行列式は:$\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} = \det \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} \frac{4}{7} & -\frac{3}{7} \ -\frac{3}{7} & \frac{4}{7} \end{pmatrix}$$= (\frac{4}{7})(\frac{4}{7}) - (-\frac{3}{7})(-\frac{3}{7})$$= \frac{16}{49} - \frac{9}{49} = \frac{7}{49} = \frac{1}{7}$ ヤコビアンの絶対値は $ \frac{1}{7} = \frac{1}{7}$ です。 したがって、$dx \, dy = \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} \, du \, dv = \frac{1}{7} \, du \, dv$ となります。 積分の実行: これで、積分は新しい変数 $u, v$ で計算できるようになりました。 $\iint_D x \, dx \, dy = \int_{1}^{2} \int_{0}^{3} \left(\frac{4u - 3v}{7}\right) \left(\frac{1}{7} \, du \, dv\right)$$= \frac{1}{49} \int_{1}^{2} \int_{0}^{3} (4u - 3v) \, du \, dv$ まず、$u$ について積分しましょう。$\int_{0}^{3} (4u - 3v) \, du = \left[ 2u^2 - 3vu \right]_{u=0}^{u=3}$$= (2(3)^2 - 3v(3)) - (2(0)^2 - 3v(0))$$= (18 - 9v) - 0 = 18 - 9v$ 次に、$v$ について積分します。$\frac{1}{49} \int_{1}^{2} (18 - 9v) \, dv = \frac{1}{49} \left[ 18v - \frac{9}{2}v^2 \right]_{v=1}^{v=2}$$= \frac{1}{49} \left[ \left(18(2) - \frac{9}{2}(2)^2\right) - \left(18(1) - \frac{9}{2}(1)^2\right) \right]$$= \frac{1}{49} \left[ \left(36 - \frac{9}{2}(4)\right) - \left(18 - \frac{9}{2}\right) \right]$$= \frac{1}{49} \left[ (36 - 18) - \left(\frac{36}{2} - \frac{9}{2}\right) \right]$$= \frac{1}{49} \left[ 18 - \frac{27}{2} \right]$$= \frac{1}{49} \left[ \frac{36}{2} - \frac{27}{2} \right]$$= \frac{1}{49} \left[ \frac{9}{2} \right] = \frac{9}{98}$ したがって、積分の値は $\frac{9}{98}$ です！ この変数変換による解法、エレガントでしょ？✨ もし、この積分の考え方や、ヤコビアンについてもっと詳しく知りたいことがあれば、いつでも聞いてくださいね！